Системы счисления.

Система счисления – это совокупность приемов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Различают два типа систем счисления.

Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчи­сленное множество. Система счисления должна обеспечивать:  возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин; единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);    простоту оперирования числами. Исторически сложились два типа систем счисления.

В общем виде для любой позиционной системы справедливо равенство:

A_(q) = a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 + . . . + a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + . . . + a_-mq^-m

здесь

            А (q) - произвольное число, записанное в системе счисления с ос­нованием q;

a_i - цифры системы счисления  (коэффициенты  ряда);

n, m - количество целых и дробных разрядов;

            q - основание (базис) системы счисле­ния - количество символов (цифр), используемых для изобра­жения числа в данной системе. Основание системы счисления показывает, во сколько раз изменяется значение цифры (количественное содержание) при перестановке ее в соседнюю позицию.

Естественная позиционная система счисления имеет место, если q - целое, положительное  число. Во всех позиционных системах счисления q = 10_(q).

Возможны си­стемы счисления с любым основанием (двоичная, троичная, четверичная и т.д.). Наиболее известна десятичная система счисления (q = 10), в которой для записи чисел используется 10 цифр (0, 1,..., 9). В ЭЦВМ используют позиционные системы счисления. (поэтому произнося "система счисления" будем подразумевать, что она позиционная) Выбор оптимальной системы счисления для использования в ЭЦВМ определяется целым рядом признаков:

простота технической реализации (проще всего в 2-ой, потом в3-ой, 4-ой и т.д.)

помехоустойчивость (2, 3, 4 … );

экономичность (минимум) оборудования (3, 2 и 4, 5 … );

простота арифметических операций (2, 3, 4 …);

быстродействие вычислений (2, 3, 4 ….);

удобство логических операций (2, 3, 4 …);

удобство работы человека (10, 2, 3 … ).

            Подавляющее большинство ЭЦВМ работает в двоичной системе счисления, где любое число представлено набором только двух цифр  - 0 и 1 (например: нет напряжения – есть напряжение). Однако запись двоичных чисел на бумаге  очень громоздка, что приводит к частым ошибкам. Поэтому для удобства записи специалисты используют восьмеричную и шестнадцатиричную системы счисления, для которых очень просто осуществляется перевод чисел в двоичную систему счисления и обратно.

Таблица чисел в различных системах счисления.