Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Способ перевода зависит от того, в какой системе производятся арифметические операции. Для человека это десятичная система счисления.

Перевод чисел из любой системы в десятичную.

Производится по формуле представления чисел в позиционной системе счисления

A_(q) = a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 + . . . + a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + . . . + a_-mq^-m

101001,11₂ = Х₁₀ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1 + 1·2^-2 =

= 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 + 1/2 + 1/4 = 41,75₁₀

Перевод чисел из десятичной в любую систему счисления.

            Производится методом деления/умножения отдельно для целой и отдельно для дробной части десятичного числа.

            Для перевода целого числа (целой части) оно делится нацело на основание новой системы счисления и находится остаток от деления. Операция повторяется с каждым полученным частным до тех пор, пока результат не достигнет нуля. Остатки от деления, записанные в обратной последовательности, дают требуемое число в новой системе счисления.

            Для перевода дробной части (дроби) она умножается на основание новой системы счисления. Операция умножения повторяется с дробной частью произведения до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не достигнем заданной точности. Целые части произведений, записанные в прямой последовательности, дают искомую дробь в новой системе счисления.

 

Применение этих  систем счисления связано с гораздо более короткой записью чисел при простоте перевода в двоичную систему и наоборот.

8 = 8¹ =2³, поэтому 8 восьмеричных цифр полностью используют все возможные комбинации трех двоичных разрядов (триад). Для перевода восьмеричного числа в двоичное каждая его цифра заменяется полной (с начальными нулями) двоичной триадой.

6302,15₈ = Х₂;    ( 6₈ = 110₂   3₈ = 011₂    0₈ = 000₂    2₈ = 010₂   1₈ = 001₂   5₈ = 101₂ )

6302,15₈ = 110 011 000 010 , 001 101₂

Для перевода двоичного числа в восьмеричное оно разбивается на полные триады влево/вправо от запятой, после чего каждая триада заменяется восьмеричной цифрой:

            Т.к. 16 = 2⁴, перевод чисел осуществляется аналогично, только шестнадцатиричная цифра заменяется полной тетрадой   (четыре двоичных разряда).

 А19,С5₁₆ = Х₂;    ( А₁₆ = 1010₂   1₁₆ = 0001₂    9₁₆ = 1001₂    С₁₆ = 1100₂   5₁₆ = 0101₂ )

А19,С5₁₆ = 1010 0001 1001 , 1100 0101₂   

Двоично-десятичная система (Д-коды).

При работе ЭВМ производится перевод чисел из  десятичной системы в двоичную и наоборот, что занимает машинное время. При решении научных задач это время несущественно (данных мало, а вычисления большие и сложные), а при решении социально-экономических – наоборот (огромное количество данных при простых расчетах). Для решения задач с большим количеством данных была разработана двоично-десятичная арифметика, которая требует больше времени на вычисления, чем двоичная,  но значительно сокращает время на ввод и преобразование данных. В двоично-десятичной системе каждая десятичная цифра числа заменяется полной двоичной тетрадой (Д-кодом). Т.к. тетрадой можно записать 16 цифр, а в десятичной системе их 10, возможно огромное количество вариантов Д-кодов. На практике применимы те варианты Д-кодов, в которых для каждой цифры вес (численное содержание) каждого двоичного разряда не меняется. Наибольшее распространение получили  Д-коды 8421 (нормальные двоичные веса), 8421+3, 8421+6, 2421, и др..

Примеры:

5₁₀ = 0101₍₈₄₂₁₎ = 0·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 5₁₀

5₁₀ = 1000_(8421+3) = 1·8 + 0·4 + 0·2 + 0·1 = (5 + 3)₁₀ (код с избытком 3 – каждая десятичная цифра записывается увеличенным на 3 двоичным числом 0₁₀ = 0011_(8421+3))

5₁₀ = 1011₍₂₄₂₁₎ = 1·2 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 5₁₀

Т.к. в любом Д-коде используется только 10 комбинаций тетрады из 16, существуют 6 запрещенных комбинаций, которые применять нельзя.

Двоично-десятичные цифры, даже при использовании кода 8421, отличаются от изображения этих же чисел двоичным числом.

  41₁₀ = 101001₂  = 0100 0001₍₈₄₂₁₎

255₁₀ = 11111111₂ = 0010 0101 0101₍₈₄₂₁₎